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美股期权交易基础

期权定价方法之B-S模型

高校_电子科技大学

期权定价方法之B-S模型

作 者
张启文(博士生导师),王春棣,高延雷

作者单位
东北农业大学经济管理学院,哈尔滨150030

【摘要】上证50ETF期权的问世开启了中国股票期权的时代,中国股票期权市场发展潜力巨大,未来的几年将会迅速发展壮大,投资者可以通过购买股票期权进行风险规避或投机获利。为提高股票期权定价的精确性,可以从无风险利率的计算方法、运用GARCH模型进行股票收益率的预测以及引入股票分红三个方面对Black-Scholes股票期权定价模型进行修正,并将GARCH模型预测的股票价格波动率代入Black-Scholes股票期权定价模型。利用修正的模型对中国平安的股票看涨期权、看跌期权的计算,证明该模型具有实用价值。
【关键词】股票期权;Black-Scholes股票期权定价模型;GARCH模型
【中图分类号】F832.48 【文献标识码】A 【文章编号】1004-0994(2016)23-0114-4一、引言
期权交易的雏形出现在1200年的古腓尼基国与古希腊之间的国际贸易中。目前,法国数学家巴舍利耶被认为是期权定价理论的始祖。1970年,芝加哥大学的Fricher Black同麻省理工学院的Myron Scholes合作提出期权定价模型,并形成了Black-Scholes股票期权定价模型。股票期权是最早出现的场内期权合约,1973年在芝加哥期权交易所推出第一批16只股票为标的的期权合约。美国是全球最大的股票期权交易中心,股票期权市场产品规模领先于全球市场,超过3000只,交易量占比高达80%,并且成交量逐年提升。欧洲、非洲及中东股票期权自2002年起成交量无明显增长,亚太地区的股票期权在全球市场份额较小,但是发展速度极其迅猛。香港联合交易所在1995年9月8日首次推出股票期权,七年的时间完成33只美式股票期权的上市。
期权的标的资产涉及股票、股票指数、商品以及期货等,本文只研究股票期权的定价问题。围绕股票期权定价问题,学者们做了丰富的研究。潘涛、邢铁英(2007)以长电认购权证以及宝钢认购权证的价格作为数据样本,对CARCH定价模型进行修正,试图找到适合中国权证的Black-Scholes期权定价方法。汪来喜、丁日佳(2008)利用GARCH模型预测股票的波动率,提高了Black-Scholes期权定价模型的精确度。任智格、何郎、黄樟灿(2015)对Black-Scholes股票期权定价模型中的无风险利率进行了改进,并对模拟的创业公司制定的战略计划进行了实证分析。对于Black-Scholes股票期权定价模型,最初是为欧洲股票期权定价而发展形成的,该模型的应用需要一系列限制性条件,比如不考虑股利对股价的影响以及股票期权的提前执行。而现实情况中大部分股票具有分红的特性,于是学者们将股利考虑到期权定价的模型中,进一步精确股票期权的合理定价范围。2015年2月9日上证50ETF(510050)的亮相为中国的交易所注入了新的活力,成为中国走进“期权时代”的开端。股票期权的合理定价有利于期权市场的良好发展,同时也是现代金融研究方向之一,对于衍生品金融市场的健康长远发展具有深远影响。
二、股票期权定价模型的修正
1. Black-Scholes期权定价模型一般形式。该模型的使用需要以下假设:①在一段连续的时间内无套利机会存在;②标的资产的价格变动比例遵循一般化的维纳过程,服从对数正态分布;③连续的无风险利率以及基础资产的价格波动是已知和固定的;④市场是无摩擦的,即没有交易费用和税收,并且没有卖空限制;⑤基础资产没有现金流,例如红利或是固定的息票付款;⑥定价期权为欧洲期权,期权的执行只能是在到期日,该模型并不适用于美式期权。以下为看涨期权C0和看跌期权P0的定价公式,符号说明见表1。

2. Black-Scholes股票期权定价模型的修正。为了更精确地对股票期权进行合理定价,本文决定从三个方面对个股期权定价模型进行修正:对无风险利率进行有效合理的处理;进一步精确股票的价格波动率;将股票的红利支付考虑到股票期权的定价模型中。
(1)期权定价模型中使用与期权期限相同的银行利率作为参照,计算出近五年的同期银行利率的几何平均利率为
,其中r1为近一年某期限的银行利率,r2为往后推算两年相同期限的银行利率,以此类推。例如,计算三个月期限股票期权所需要的无风险利率,需要根据近五年银行三个月的定期存款利率计算几何平均利率。其中股票连续收益率 的获取通常有两种方式:第一种,首先计算收益率Ri=(Pi-Pi-1)/Pi-1, 期权定价方法之B-S模型 i=1,2,…,n,将收益率Ri转化为连续收益率 =Ln(1+Ri),i=1,2,…,n;第二种, =Ln(Si/Si-1)。
(2)使用GARCH模型预测得到的股票收益率的波动率作为影响股票期权定价模型的波动率。目前,GARCH族模型在预测波动率方面仍被广泛认可。GARCH(p,q)模型由两个公式构成:
Rt=Ut+αt
其中:ϖ0、αi 、βj均为估计参数;Ut代表股票收益率的均值;p、q为GARCH模型的阶数; 为股票收益率的波动率。
学者们通过很多实证研究证明,GARCH模型能够有效地解决收益率波动率的异方差问题,通常令p=1,q=1。则GARCH(1,1)模型的具体公式变为:
Rt=Ut+αt

对股票价格进行一系列处理后获得股票收益率,利用Eviews软件针对482个样本数据对于GARCH(1,1)模型的参数进行估值,得到ϖ0、αi 、βj为确定的数值。根据 和 可以预测 的大小,以相同的方式可以计算得到 、 。
GARCH模型具有均值回归的效果,预测得到的数据与历史波动率紧密相关。
(3)考虑股票红利对股票期权定价的影响。Black-Scholes股票期权定价模型不支付股利的假设条件明显不符合实际情况,股利的支付对看涨期权和看跌期权的影响方向不同,前者与股利的支付反方向变动,后者则与股利的支付同方向变动。对于股利对股票期权的影响可从两个方面进行分析:连续股利支付和间断性股利支付。对于连续股利支付,需要将Black-Scholes股票期权定价模型中的S0变为S0e-q(T-t),其中T-t为剩余的到期时间;对于间断性股利支付,在S0的基础上减去未来股利现金流的折现值。
三、实证研究及结果说明
我国市场最近准备推出的期权品种包括上海证券交易所正在进行模拟交易测试的股票期权和正式交易的ETF期权,仿真交易的期权标的证券主要包含以下四只:上汽集团(600104)、中国平安(601318)、哈高科(600095)、上证180ETF(510180),正式交易的期权标的目前只有上证50ETF(510050)。选择即将推出市场的股票期权可以为期权的定价提供一定的参考意见,因此,本文选取中国平安的股票收盘价格作为研究的对象。依次计算Black-Scholes股票期权定价模型中需要的无风险利率 、股票收益率的波动率的预测值、红利支付条件下股票价格的大小,最后将计算的数值代入Black-Scholes股票期权定价模型中得到中国平安股票期权的价格。
1. Black-Scholes股票期权定价模型中 期权定价方法之B-S模型 的计算。

=2.61%
2. 使用GARCH模型计算股票收益率的波动率的预测值。传统的度量股票波动率大小的计量模型例如一元线性回归、多元线性回归和ARMA模型等,均假设残差值为零并且的资产满足独立同分布(Independent Identically Distributed)。但是,金融市场上的股票价格在某一时间段内常常表现出价格波动率聚类的现象,导致小幅度的波动出现在一段时间内,而大幅度的波动出现在另外一段时间内。传统的计量工具无法满足要求,为了更加准确客观地描述股票价格随时间变化的情况,GARCH模型弥补了上述缺点,在研究股票收益率的波动率方面的应用被广泛认可。中国平安股票价格数据选取的时间段为2013年11月30日 ~ 2015年11月30日,一共有731天(有效交易日为482天),数据来源于同花顺网站。运用Eviews软件对2013年11月30日 ~ 2015年11月30日有效482天的中国平安股票收益率进行数据处理,结果见图1。

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[5]Martin Vance L.,Tang Chrismin,Yao Wenying. Forecasting the volatility of asset returns: The informational gains from option prices[J]. International Journal of Forecasting,2020(prepublish).

期权定价方法之B-S模型

基于B-S公式的金融衍生品定价模型的改进及实证分析

一、引言
期权,权证以及其他金融衍生品定价理论的出现是现代金融发展一个重要的里程碑。基于广为人知的无套利理论,Black,Scholes和Merton在1973年创立了著名的期权定价公式。此公式的创立立即在学术界和专业投资领域得到了广泛的认可,并由此推动了现代金融衍生品市场的发展。
Black-Scholes公式对金融衍生品定价的深远影响和内在的重要性体现在于,它表明在一定的条件下,衍生品的价格可以通过特定的动态投资策略被精确地制定出来,而这个投资策略只和标的资产的价格和市场无风险利率有关。这在本质上改变了期权定价的方式,使得期权定价更加精确和严格,因而极大程度地推动了现代金融市场的发展。 利用Black-Scholes模型中所采用的方法,各种各样的金融衍生品,包括各种金融衍生品的组合,可以被精确地定价。 期权定价方法之B-S模型
虽然衍生品的最后定价数值往往是高度计算机相关的,但是本质上由于模型建立在无套利条件的基本假设下,整套定价理论的实际应用中并没有留给传统统计学多少可以深入研究的空间。这主要是由于中间没有“误差项”可以去最小化,也没有相应的统计波动值得研究。诸如回归分析等传统统计方法即使在标的资产的价格变化模型的数据处理中都很少有用武之地。然而,这并不是说在B-S模型下的金融衍生品定价理论彻底与统计无关。至少在这套理论的实际应用中有两个问题确实需要统计推断。第一个问题是如何估计连续时间下标的资产价格变化模型中的某些参数。这点非常重要,因为标的资产的价格模型是之后的衍生品定价模型的基础。第二个问题与如何用Monte Carlo方法来解决“路径独立”的衍生品定价有关。

二、Black-Scholes定价模型
1、基本价格变化模型 期权定价方法之B-S模型
随着金融衍生品市场的发展,在很多场合下我们需要考虑连续情况下的模型,而不再是简单的离散时间模型。例如,Merton推导Black-Scholes公式时就要求假设投资组合在任意时间时候都是可以快速调整的,只有这样才能从理论上构造出一个对冲的投资组合,从而通过无套利原则准确计算出衍生品的价格。
这是Black-Scholes公式的最重要的思想。然而在离散情况下,满足上述要求的投资往往是无法够构造的,因此本文中所有关于金融衍生品模型的讨论都将是在连续时间下的。
我们用来表示标的资产在 时刻的价格。我们常假设满足以下条件:
a、对任意的,
b、对任意的,增量与增量是相互统计独立的。
c.对每条轨道而言,是连续的。
满足这些条件的,就是著名的布朗运动或者维纳过程,该过程通常用来表示。也即(1)
随机变量表示描述标的资产的价格,有以下几个性质:

2、Black-Scholes期权定价模型
1973年,Fisher Black和Myron Scholes推导出基于无红利支付股票的任何衍生证券的价格都必须满足的微分方程,并运用该方程推导出欧式看涨期权和看跌期权的价值。在此,我们对Black-Scholes模型进行简单阐述,定价公式的推导过程在很多文献上都可以查到,所以在此不再详细介绍,本文只给出最后的推导结果,即定价公式。我们先规定一些符号:
S:股票现价
K:期权的执行价格
T:期权的到期时间
t:现在的时刻
ST:在T时刻股票的价格
r:在T时刻到期的投资的无风险利率
c:一份欧式看涨期权的价值
p:一份欧式看跌期权的价值
在得出Black-Scholes定价公式之前,我们首先要导出Black-Scholes微分方程,Black-Scholes微分方程用到的基本假设如下:
1、股票价格服从几何布朗运动:

其中,z是标准布朗运动,是股票的期望增长率,是股票的波动率。
2、允许使用全部所得卖空衍生证券。
3、市场上没有交易费用或税收,所有证券都是高度可分的。
4、在衍生证券的存续期内无红利发放。
5、交易市场没有无风险套利机会。
6、证券交易是连续的。
7、无风险利率r为常数且对所有到期日都相同。
在这7项假设的基础上我们可以推导出Black-Scholes微分方程:
(2)
其中f就是我们所关心的要确定的期权价格。对应于可用标的变量S定义的所有衍生证券,方程有很多解。解方程时得到的特定的衍生证券取决于其使用的边界条件。对于欧式看涨期权,关键的边界条件为:;欧式看跌期权则为:。
而该方程的一个重要性质就是该方程不包含任何受投资者的风险偏好影响的变量。故风险偏好不会对其解产生影响,在对f进行定价时我们可以使用任何一种风险偏好,特别是,可以假设:所有的投资者都是风险中性的。风险中性的假设是求解Black-Scholes微分方程的人为假设,获得的方程解对所有世界都有效。当进入风险世界时,一方面,股票价格的期望收益率改变了;而另一方面,衍生证券的期望收益率也改变了,这两种效果在构造无风险证券组合的过程中效果互相抵消。
接下来我们可以得出Black-Scholes定价公式了。在风险中性的世界里,欧式看涨期权的价格是期望值的无风险利率贴现的结果,可得欧式看涨期权的价值:

三、期权价格模型的参数估计及模型改进
1、价格模型的参数估计
如前面所言,对金融衍生品的估价是基于标的资产的价格模型的,因此对标的资产的价格模型的研究是至关重要的。由于金融市场里有许许多多的不同类型的期权和其他衍生品,因此需要各种不用的价格模型来描述不同标的资产的价格变化走势。
首先我们需要考虑的就是带参数的标的资产价格模型的参数估计。为阐述参数估计需要涉及的问题,我们考虑最简单的标的资产价格变化模型:
(3)
B-S期权公式的推导中用到的标的资产对数价格变化模型是上述模型的特殊化。
由通常的假设是一个连续时间的Markov过程,我们可以利用联合密度函数来估计参数。由Markov性我们就可以得到:

其中。由B-S公式中的基本假设,可知连续的复合收益率是独立同分布的随机变量,可解得:
(4)
(5)
进一步的分析可以知道,由此得到的估计量是相合的。
至此,一套比较完整的期权定价理论已经形成。我们首先考虑一个合适的带参数价格变化模型来描述某个标的资产的价格变化行为,在满足一定条件的情况下用历史数据(极大似然估计方法)来估计得到合理的参数估计值,从而得到一个有效的价格变化模型。最后利用无套利思想来求得标的资产的衍生品价格。在整套理论中,合适的价格变化模型和参数估计是值得不断改进和研究的,而相对而言,最后一部分的无套利思想则是相对严密和精确的数学分析。
2、模型的改进
在B-S期权公式中使用的标的资产的对数价格变化模型其实也就是几何布朗运动。这样的价格运动过程表明在不同时期标的资产的价格变化在某种意义下具有“独立性”。然后在现实的金融市场中,这样的要求过于苛刻,因此需要新的价格模型的引入来更好的表述标的资产的价格变化运动行为。OU过程(Ornstein-Uhlenbeck process)便是一个很好的改进模型。
OU过程假设,标的资产的对数价格过程满足以下随机微分方程:


四、实证分析
本文的最后将利用所学内容进行一次实证模拟。由于中国暂时还是没有期权市场,而且国外期权市场的数据获得比较不易,因此本论文对2010年贵州茅台的股价行为进行分析,并以此算出基于贵州茅台的欧式期权定价。
首先得到2010年贵州茅台的股价原始数据,以日为单位,股价以当日收盘价为准。一共收集从2010年11月3日开始到2011年8月27日之间的201个数据,在此期间,贵州茅台没有分派过股息或拆分过股权。我们假设股价变化模型为几何布朗运动模型,即:

下面我需要对参数,进行参数估计。
令,,,并利用得到式(4)和式(5)得到
,。
得到参数估计值后,利用算得不同到期日,不同执行价格的基于贵州茅台的欧式期权价格。

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