漫谈B-S期权定价模型的小历史
B-S期权定价模型最早是由Fisher Black和Myron Scholes两位经济学家在1973年发表的论文《期权定价和公司债务》中提出的，为了纪念他们的发现，该定价模型用他们名字的缩写命名 ——B-S模型。Black-Scholes期权定价模型的诞生，奠定了现代期权理论的基础，它的推导基于无风险套利机会的假设，回避了关于个人风险偏好和市场均衡价格结构的下定假设，发展了期权定价的均衡模型。有人这么评价它： B-S 期权定价公式之于金融衍生品革命，犹如DNA结构的发现之于生物工程， 可见其深远的影响力。
一直关注诺贝尔奖的童鞋们经常会看到这样一个问题：“期权定价方法之B-S模型 为什么Fischer Black一直没有获得诺贝尔经济学奖？ ”那是因为：
参照官方的经济学诺奖得主数据Nobel Prize Winners in Economics（https://courses.nus.edu.sg/course/ecstabey/Nobel.htm）。请关注其中两栏数据，一是得奖时的年龄，二是从核心研究发表到最终授予诺贝尔经济学奖的时长。任何基本的数据分析都你这样的一个事实：核心研究发表到最终拿奖真的太漫长了！所以，生于1938年的Black在1997年（59岁）拿奖已经算是挺早的了。但是！Black确实是走的太早了。在他逝去后的两年，Scholes和Merton就得奖了。。。（忧桑。。。）
虽然Black距离获奖只差两年，成为了永远的遗憾，但是B-S模型却被载入史册，他的名字也伴随着这个模型被人们所铭记。
在LTCM的投资组合中，金融衍生产品占有很大的比重，但在B-S期权定价公式中， 暗含着这样的假设：交易是连续不断进行的，不会出现较大的价格和行情跳跃。 虽然Merton等人针对模型进行了修正， 但是，风险中性状态是模型的前提条件，在价格剧烈变化下，该条件无法满足。
定价模型失效了！并且这种失效给了LTCM公司致命打击。
例如， Bates在1996年提 出了SVJ(随机波动率.跳跃相结合)模型,为了将资产价格跳跃变化和波动率随机变化结合起来,模型假设跳跃规模服从对数正态分布,并能表现标的资产收益率的尖峰和有偏特征,通过调整参数还能表现波动率微笑特征。
因此我们在期权投资的道路上也需要不断修炼自己，借助前人的伟大成果，形成自己的一套交易法则。 复杂的不一定是最好的，适合自己的才是最实用的。
如何理解 Black-Scholes 期权定价模型？
C_t f_t for f_t is the price of any European type derivative at time t.
如何从Greeks 来理解 BS differential Equation ？
这里的 f是欧式(European Style)期权的价格。
If gamma and delta neutral. \Gamma = 0\\~\\ \Delta = 0
f here is the risk - free bond，gain income with the time flows。
记得我们在二叉树里面，我们只需要delta-hedging即可就可以risk-free，但是当我们到了连续的情况我们需要delta + gamma hedging。
If gamma and theta neutral. \Gamma = 0\\~\\ \theta= 0
f here is c shares of stock，that's saying if you don't like theta(time decay) and gamma (curvature accelerating), you only need to trade stock。
curvature accelerating什么含义？ 就是说你的股票价格涨1%，组合涨1%，再涨1%，组合涨的更多比如2%。
time decay呢？ 就是说如果你只买股票，仅仅是时间变动，你的股票价值是不会变化的，股票的theta是0。
记得我们在二叉树里面，我们只需要delta-hedging即可就可以risk-free，但是当我们到了连续的情况我们需要delta + gamma hedging。
如何理解 (dt)(dB_t) = 0, (dB_t)^2=dt Stochastic Calculus rules
我们知道 dB_t 是服从 正态分布的，那么为什么他的平方会趋近于一个常数？（而不是卡方？）
dB_t = B_-B_t \sim N(0,dt)
V(dB^2_t ) ->0 rapidly.
我们知道 dtdB_t 是正态分布的，为什么会等价于0？
V(dtdB_t ) ->0 rapidly.
E(dtdB_t ) =dtE(dB_t) = dtE(B_-B_t)= dt(E(B_)-E(B_t))=0\\ \forall t B_t \sim N(0,t)
Var(dtdB_t ) =dt^2Var(dB_t)=dt^3 -> 0
E((dB_t)^2 ) =E((B_-B_t)^2) \backsimeq E((B_-B_0)^2) = E(B_^2) = dt
我们同时要证明， Var((dB_t)^2 -dt) = Var((dB_t)^2) -> 0
Then E((dB_t)^4) = dt^4E(Y^4)期权定价方法之B-S模型
Then Var((dB_t)^2) = dt^4E(Y^4) - dt^2
也会按照至少 dt^2 的速度收敛到0
如何理解 Ito's Lemma？
s - > ds_t = s_trdt+s_t\sigma dB_t
为什么这里 (ds)^2 没有被忽略掉？
因为正常的全微分下，我们的dt 和 ds都是默认的极小量，其高阶极小量忽略，而这里：
(ds)^2 = (s_t\sigma dB_t)^2=\sigma^2s^2(dB_t)^2=\sigma^2s^2dt
相关面试/练习题解析
股票价格$500. 波动率40%, the risk-free rate is at 5%. 投资组合delta 0.1, gamma 0.06 ,theta -800. 在股票无红利派发的情况下给出投资组合的价格。
先给一些背景知识在这里：
什么是dollar to dollar exposure?
我们如何用期权构造一个dollar to 期权定价方法之B-S模型 dollar exposure呢？
首先根据上面的公式我们需要抹除gamma的影响，所以我们可以用Deep in the money call option(看payoff 图，你的strike price离股票现在价格太远(太小)，使得变动delta几乎是1)。
但是买deep in the money call 和 股票还是有不同，这个不同就在Theta上，他是time decay的。
假设你通过购买Google股票获得了dollar to dollar 的Google股票exposure。 θ是多少？
\theta + 0.03*500*1 + 0 = 0.03*250\\~\\ \theta = -7.5
注意，our position is losing value at the rate of 7.5$ a year.
你能用Google价格的1/4进行构造相同的dollar to dollar exposure吗？ 如何实现？
you could do deep in the money call of the call option.
call^3 -> call^2->call->stock\\~\\ price:62.5->125->250->500\\~\\ theta:-15->-10->-7.5->0\\~\\
期权定价方法之B-S模型
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布莱克-斯科尔斯期权定价模型
期权定价是所有金融应用领域数学上最复杂的问题之一。第一个完整的期权定价模型由Fisher Black和Myron Scholes创立并于1973年公之于世。B—S期权定价模型发表的时间和芝加哥期权交易所正式挂牌交易标准化期权合约几乎是同时。不久，德克萨斯仪器公司就推出了装有根据这一模型计算期权价值程序的计算器。大多从事期权交易的经纪人都持有各家公司出品的此类计算机，利用按照这一模型开发的程序对交易估价。这项工作对金融创新和各种新兴金融产品的面世起到了重大的推动作用。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。瑞士皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。